Question

已知A，B，C，P為平面內(nèi)四點(diǎn)，求證：A、B、C三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在一對(duì)實(shí)數(shù)m，n，使

PC

=m

PA

+n

PB

，且m+n=1．

Answer 1

分析：根據(jù)向量法判斷三點(diǎn)共線的充要條件，我們可以寫(xiě)出“

AC

與

AB

共線”的充要條件，分析與“存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)λ₁，使得

AC

=λ

AB

，結(jié)合向量共線的條件，從必要性和充分性?xún)煞矫鎭?lái)證即可．

解答：證：由

PC

=m

PA

+n

PB

，m+n=1，得

PA

+

AC

=m

PA

+n（

PA

+

AB

）
=（m+n）

PA

+n

AB

=

PA

+n

AB

，
∴

AC

=n

AB

．
∴A，B，C三點(diǎn)共線．
由A、B、C三點(diǎn)共線，知存在常數(shù)λ，使得

AC

=λ

AB

，
即

AP

+

PC

=λ（

AP

+

PB

），

PC

=（λ-1）

AP

+λ

PB

=（1-λ）

PA

+λ

PB

，
令m=1-λ，n=λ，m+n=1，且

PC

=m

PA

+n

PB

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是必要條件，充分條件與充要條件的判斷，平面向量的基本定理及其意義，其中熟練掌握向量法判斷三點(diǎn)共線的充要條件，是解答本題的關(guān)鍵．