Question

【題目】阿海準備購買“海馬”牌一輛小汽車，其中購車費用12.8萬元，每年的保險費、汽油費約為0.95萬元，年維修、保養費第一年是0.1萬元，以后逐年遞增0.1萬元．請你幫阿海計算一下這種汽車使用多少年，它的年平均費用最少？

Answer 1

【答案】解：依題意知汽車每年維修、保養費依次構成以0.1萬元為首項，0.1萬元為公差的等差數列．
因此汽車使用x年總的維修、保養費用為 =0.05x（x+1）萬元，
設汽車的年平均費用為y萬元，
則有y= =1+ +0.05x（x＞0），
由x＞0，可得 +0.05x≥2 =1.6，
當且僅當 ，即x=16時等號成立．
則y≥2.6，當x=16時，取得最小值2.6．
答：這種汽車使用16年時，它的年平均費用最少．
【解析】由題意可得每年維修、保養費依次構成以0.1萬元為首項，0.1萬元為公差的等差數列，運用等差數列的求和公式，設汽車的年平均費用為y萬元，則有y= =1+ +0.05x（x＞0），再由基本不等式即可得到所求最小值，及等號成立的條件．
【考點精析】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用的相關知識點，需要掌握用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”才能正確解答此題．