Question

（2013•浙江）設a，b∈R，若x≥0時恒有0≤x⁴-x³+ax+b≤（x²-1）²，則ab等于

-1

．

Answer 1

分析：由題意，x≥0時恒有0≤x⁴-x³+ax+b≤（x²-1）²，考察（x²-1）²，發現當x=1時，其值為0，再對照不等式左邊的0，可由兩邊夾的方式得到參數a，b滿足的方程，再令f（x）=x⁴-x³+ax+b，即f（x）≥0在x≥0恒成立，利用導數研究函數在x≥0的極值，即可得出參數所滿足的另一個方程，由此解出參數a，b的值，問題即可得解

解答：解：驗證發現，
當x=1時，將1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0，
當x=0時，可得0≤b≤1，結合a+b=0可得-1≤a≤0
令f（x）=x⁴-x³+ax+b，即f（1）=a+b=0
又f′（x）=4x³-3x²+a，f′′（x）=12x²-6x，
令f′′（x）＞0，可得x＞

1

2

，則f′（x）=4x³-3x²+a在[0，

1

2

]上減，在[

1

2

，+∞）上增
又-1≤a≤0，所以f′（0）=a＜0，f′（1）=1+a≥0
又x≥0時恒有0≤x⁴-x³+ax+b，結合f（1）=a+b=0知，1必為函數f（x）=x⁴-x³+ax+b的極小值點，也是最小值點
故有f′（1）=1+a=0，由此得a=-1，b=1
故ab=-1
故答案為-1

點評：本題考查函數恒成立的最值問題及導數綜合運用題，由于所給的不等式較為特殊，可借助賦值法得到相關的方程直接求解，本題解法關鍵是觀察出不等式右邊為零時的自變量的值，及極值的確定，將問題靈活轉化是解題的關鍵