Question

在中，滿足,是邊上的一點.

（Ⅰ）若,求向量與向量夾角的正弦值；

（Ⅱ）若，=m  (m為正常數) 且是邊上的三等分點.，求值；

（Ⅲ）若且求的最小值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；

(Ⅱ)（1）當時，則=；

（2）當時，則=；

（Ⅲ） .

【解析】

（Ⅰ），可得,是等腰直角三角形，令=；

（Ⅱ），，,

利用30°的直角三角形的性質令=m所以，，是邊上的三等分點.分類討論：或；

（Ⅲ）注意到，是解題的關鍵，，求通常用平方的方法。

                 

（Ⅰ）解：設向量與向量的夾角為，則

令=，得，又，則為所求……………2分

(Ⅱ)解：因為，=m所以，

（1）當時，則=；--2分

（2）當時，則=；---2分

（Ⅲ）解：設,因為，；

所以即于是得

從而---2分

==

=…………………………………2分

令，則，則函數，在遞減，在上遞增，所以從而當時，………………2分