Question

簡化的北京奧運會主體育場“鳥巢”的鋼結構俯視圖如圖所示，內外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，外層橢圓頂點向內層橢圓引切線AC，BD，設內層橢圓方程為，則外層橢圓方程可設為．若AC與BD的斜率之積為，則橢圓的離心率為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：設出切線AC和BD的方程，與橢圓方程聯立消去y，根據判別式等于0求得k₁和k₂的表達式，根據AC與BD的斜率之積求得a和b的關系，進而求得a和c的關系，橢圓的離心率可得．
解答：解：設切線AC的方程為y=k₁（x-ma），則
消去y得（b²+a²k₁²）x²-2ma³k₁²x+m²a⁴k₁²-a²b²=0
由△=0⇒k₁²=•，同理k₂²=•（m²-1）
∴k₁²•k₂²=
∴=，
∴e=，
故選A．
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質和直線與橢圓的位置關系，考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力，解題過程要注意運算的正確性．