Question

證明空間任意無三點共線的四點A、B、C、D共面的充分必要條件是：對于空間任一點O，存在實數x、y、z且x+y+z=1，使得

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

．

Answer 1

（必要性）依題意知，B、C、D三點不共線，
則由共面向量定理的推論知：四點A、B、C、D共面
?對空間任一點O，存在實數x₁、y₁，使得

OA

=

OB

+x₁

BC

+y₁

BD

=

OB

+x₁（

OC

-

OB

）+y₁（

OD

-

OB

）
=（1-x₁-y₁）

OB

+x₁

OC

+y₁

OD

，
取x=1-x₁-y₁、y=x₁、z=y₁，
則有

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

，且x+y+z=1．
（充分性）對于空間任一點O，存在實數x、y、z且x+y+z=1，使得

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

．
所以x=1-y-z得

OA

=（1-y-z）

OB

+y

OC

+z

OD

．

OA

=

OB

+y

BC

+z

BD

，即：

BA

=y

BC

+z

BD

，
所以四點A、B、C、D共面．
所以，空間任意無三點共線的四點A、B、C、D共面的充分必要條件是：
對于空間任一點O，存在實數x、y、z且x+y+z=1，使得

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

．