Question

已知函數若函數在x = 0處取得極值．
(1) 求實數的值；
(2) 若關于x的方程在區間[0，2]上恰有兩個不同的實數根，求實數的取值范圍；
(3) 證明：對任意的自然數n，有恒成立．

Answer 1

(1)；(2) ；(3)見解析.

試題分析：(1)先有已知條件寫出的解析式，然后求導，根據導數與函數極值的關系得到，解得的值；(2)由構造函數，則在上恰有兩個不同的實數根等價于在恰有兩個不同實數根，對函數求導，根據函數的單調性與導數的關系找到函數的單調區間，再由零點的存在性定理得到，解不等式組即可；(3) 證明不等式，即是證明.對函數求導，利用導數研究函數的單調性，找到其在區間上的最大值，則有成立，那么不等式成立，利用二次函數的圖像與性質可得的單調性與最小值，根據，那么，所給不等式得證.
試題解析：(1) 由題意知則，   2分
∵時， 取得極值，∴，故，解得．
經檢驗符合題意．                                                       4分
(2)由知
由 ，得，                          5分
令，
則在上恰有兩個不同的實數根等價于在恰有兩個不同實數根． ，         7分
當時，，于是在上單調遞增；
當時，，于是在上單調遞減．依題意有
，即，　．9分
(3) 的定義域為，由(1)知，
令得，或 (舍去)，                 11分
∴當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減．　　∴為在(-1，+∞)上的最大值．
∴，故 (當且僅當時，等號成立)  12分
對任意正整數，取得，，
令 則在為增函數，
所以，即恒成立．
對任意的自然數，有恒成立．                  14分