Question

【題目】已知函數f（x）=x3+ax2+bx有兩個極值點x1、x2 ， 且x1＜x2 ， 若x1+2x0=3x2 ， 函數g（x）=f（x）﹣f（x0），則g（x）（ ）
A.恰有一個零點
B.恰有兩個零點
C.恰有三個零點
D.至多兩個零點

Answer 1

【答案】B
【解析】解：f（x）=x3+ax2+bx，求導，f′（x）=3x2+2ax+b，由函數f（x）有兩個極值點x1、x2，

則x1、x2是方程3x2+2ax+b=0的兩個根，則x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

∴a=﹣ ，①

由x1+2x0=3x2，則x0= =x2+ ＞x2，

由函數圖象可知：令f（x1）=f（x）的另一個解為m，

則x3+ax2+bx﹣f（x1）=（x﹣x1）2（x﹣m），

則 ，則m=﹣a﹣2x1，

將①代入②整理得：m= ﹣2x1= =x0，∴f（x）=f（m）=f（x0），

∴g（x）只有兩個零點，即x0和m，

所以答案是：B．

【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．