Question

設函數f（x）=

x

x+2

(x＞0)，定義f_n（x），n∈N如下：當n=1時，f₁（x）=f（x）；當n∈N且n≥2時，f_n（x）=f（f_n-1（x））．觀察：
f₁（x）=f（x）=

x

x+2

f₂（x）=f（f₁（x））=

x

3x+4

f₃（x）=f（f₂（x））=

x

7x+8

f₄（x）=f（f₃（x））=

x

15x+16

…
根據以上事實，由歸納推理可得：當n∈N時，f_n（x）=

x

(2n-1)x+2n

．

Answer 1

分析：觀察f₁（x），f₂（x），f₃（x），…，分析等式的構成，尋找規律，進行歸納．

解答：解：∵f₁（x）=f（x）=

x

x+2

f₂（x）=f（f₁（x））=

x

3x+4

f₃（x）=f（f₂（x））=

x

7x+8

f₄（x）=f（f₃（x））=

x

15x+16

…
所給的函數式的分子不變都是x，
而分母是由兩部分的和組成，
第一部分的系數分別是1，3，7，15…2ⁿ-1，
第二部分的數分別是2，4，8，16…2ⁿ
∴f_n（x）=f（f_n-1（x））=

x

(2n-1)x+2n

．
故答案為：

x

(2n-1)x+2n

．

點評：本題考查歸納推理，實際上可看作給出一個數列的前幾項寫出數列的通項公式．