Question

【題目】已知四邊形是梯形(如圖1)，，，，，E為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置(如圖2)，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求點(diǎn)C到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點(diǎn)M，連接，，，根據(jù)，易得，再利用平面幾何知識(shí)，由，得到，利用線面垂直的判定定理得到平面，進(jìn)而由面面垂直的判定定理得證.

（2）由（1）知，平面，為正三角形且邊長(zhǎng)為1， 設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為d，由等體積法求解.

（1）證明：連接，

因?yàn)?/span>，，，E為的中點(diǎn)，，

所以四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，且.

如圖，取的中點(diǎn)M，連接，，，

因?yàn)?/span>，

所以，且，.

因?yàn)?/span>，

所以.

所以

因?yàn)?/span>，，，

所以，

所以.

因?yàn)?/span>，

所以平面.

因?yàn)?/span>平面，

所以平面平面.

（2）由（1）知，平面，，且.

因?yàn)?/span>，

所以為正三角形且邊長(zhǎng)為1.

設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為d，

則，

所以，

即，

解得.

所以點(diǎn)C到平面的距離為.