Question

【題目】如圖空間幾何體中，與，均為邊長為的等邊三角形，平面平面，平面平面．

（1）試在平面內作一條直線，使得直線上任意一點與的連線均與平面平行，并給出詳細證明；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析（2）

【解析】

（1）分別取，中點，，，連接，，，，，可得面，面，，結合已知，即可求得答案；

（2）以點為原點，以為軸，以為軸，以為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，求得面的法向量和面的法向量，根據，即可求得答案.

（1）分別取，中點，，，連接，，，，

面面且交于，面，

面

面面且交于，面，

面，

由，

面，

，

由，

面

由，

面面

當在直線上運動時，面

直線是所求直線．且，

四邊形是平行四邊形

（2）以點為原點，以為軸，以為軸，以為軸，建立如圖所示空間直角坐標系

由面，

面的法向量可取．

點，點，點，點

可得：，，

設面的法向量

由，可得

可取

設二面角的平面角為，據判斷其為銳角

．