Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 若對(duì)任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn=am ， 則稱(chēng){an}是“H數(shù)列”．
（1）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n（n∈N*），證明：{an}是“H數(shù)列”；
（2）設(shè){an}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)a1=1，公差d＜0，若{an}是“H數(shù)列”，求d的值；
（3）證明：對(duì)任意的等差數(shù)列{an}，總存在兩個(gè)“H數(shù)列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2．

當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1．

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=an+1．

∴數(shù)列{an}是“H”數(shù)列

（2）解：Sn= = ，

對(duì)n∈N*，m∈N*使Sn=am，即 ，

取n=2時(shí)，得1+d=（m﹣1）d，解得 ，

∵d＜0，∴m＜2，

又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1

（3）證明：設(shè){an}的公差為d，令bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，

對(duì)n∈N*，bn+1﹣bn=﹣a1，

cn=（n﹣1）（a1+d），

對(duì)n∈N*，cn+1﹣cn=a1+d，

則bn+cn=a1+（n﹣1）d=an，且數(shù)列{bn}和{cn}是等差數(shù)列．

數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn= ，

令Tn=（2﹣m）a1，則 ．

當(dāng)n=1時(shí)，m=1；當(dāng)n=2時(shí)，m=1．

當(dāng)n≥3時(shí)，由于n與n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）為非負(fù)偶數(shù)，m∈N*．

因此對(duì)n∈N*，都可找到m∈N*，使Tn=bm成立，即{bn}為H數(shù)列．

數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Rn= ，

令cm=（m﹣1）（a1+d）=Rn，則m= ．

∵對(duì)n∈N*，n（n﹣3）為非負(fù)偶數(shù)，∴m∈N*．

因此對(duì)n∈N*，都可找到m∈N*，使Rn=cm成立，即{cn}為H數(shù)列．

因此命題得證

【解析】（1）利用“當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1”即可得到an ， 再利用“H”數(shù)列的意義即可得出．（2）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即可得出Sn ， 對(duì)n∈N* ， m∈N*使Sn=am ， 取n=2和根據(jù)d＜0即可得出；（3）設(shè){an}的公差為d，構(gòu)造數(shù)列：bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1 ， cn=（n﹣1）（a1+d），可證明{bn}和{cn}是等差數(shù)列．再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其通項(xiàng)公式、“H”的意義即可得出．