Question

某廠家準備在2013年12月份舉行促銷活動，依以往的數據分析，經測算，該產品的年銷售量萬件(假設該廠生產的產品全部銷售)，與年促銷費用萬元近似滿足，如果不促銷，該產品的年銷售量只能是1萬件．已知2013年生產該產品的固定投入10萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元．廠家將每件產品的銷售價格規定為每件產品成本的1.5倍．(產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)．
（1）將2013年該產品的年利潤萬元表示為年促銷費用萬元的函數；
（2）該廠家2013年的年促銷費用投入為多少萬元時，該廠家的年利潤最大？并求出年最大利潤．

Answer 1

（1）（2）3，2,1萬

試題分析：（1）由題意可知當m=0時，x=1滿足，即可得出k值，從而得出每件產品的銷售價格，從而得出2013年的利潤的表達式即可；
（2）對于（1）中求得的解析式，根據其中兩項之積為定值結合利用基本不等式此函數的最大值及相應的x值，從而解決該廠家2010年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大．
試題解析：（１）由       3分
每件產品的銷售價格為1.5×（元），                                       .4分
∴2010年的利潤y=x•(1.5×)－（8+16x+m）                      6
=4+8x-m=4+8(3?)-m=-[+(m+1)]+29（m≥0）．
           7分
（2），當且僅當 ，即年促銷費用投入為3萬元，該廠家的年利潤最大，最大利潤為21萬元。         13分