Question

(14分) 已知函數．
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當時，判斷方程實根個數.
（3）若時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）在內有且僅有一個實數根
（3）

試題分析：（1）利用導數的幾何意義得到導數的值，切點坐標得到結論。
（2）時，令，
求解導數，并判定又，
在內有且僅有一個零點進而得到結論。
（3）恒成立， 即恒成立，
又，則當時，恒成立，
分離參數法構造新函數利用求解的最小值得到參數m的范圍。
（1）時，，，切點坐標為，
切線方程為
（2）時，令，
，在上為增函數
又，
在內有且僅有一個零點
在內有且僅有一個實數根
（或說明也可以）
（3）恒成立， 即恒成立，
又，則當時，恒成立，
令，只需小于的最小值，
，
， ， 當時，
在上單調遞減，在的最小值為，
則的取值范圍是
點評：解決該試題的關鍵是能將不等式的恒成立問題轉化為哈雙女戶的最值來處理，并得到參數的范圍，同時要理解導數的幾何意義表示的為切線的斜率。