Question

已知函數f（x）=x（x-a）（x-b），其中a、b∈R
（I）當a=0，b=3時，求函數，f（x）的極值；
（Ⅱ）當a=0時，-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，求b的取值范圍
（Ⅲ）若0＜a＜b，點A（s，f（s）），B（t，f（t））分別是函數f（x）的兩個極值點，且0A⊥OB，其中0為原點，求a+b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求導數，確定函數的單調性，即可求函數的極值；
（Ⅱ）當a=0時，-lnx=x-b-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，即b≤x-lnx在[1，+∞）上恒成立，求出右邊的最小值，即可得到結論；
（Ⅲ）利用向量知識，確定，進而可得，利用基本不等式，即可得到結論．
解答：解：（I）當a=0，b=3時，f（x）=x³-3x²
∴f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞2，令f′（x）＜0，可得0＜x＜2
∴x=0時，函數取得極大值為0，x=2時，函數取得極小值為-4；
（Ⅱ）當a=0時，-lnx=x-b-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴b≤x-lnx在[1，+∞）上恒成立
令g（x）=x-lnx，則
∵x＞1，∴
∴g（x）在[1，+∞）上是增函數
∴g（x）_min=g（1）=1
∴b≤1；
（Ⅲ）由題意，，∴st+f（s）f（t）=0
∴st+st（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=0①
∴f′（x）=3x²-2（a+b）x+ab
∵s，t是f′（x）=0的兩根
∴s+t=，st=＞0
∴①可化為（）（）=-1
∴ab（a-b）²=9
∴
∴
∴≥12
當且僅當，即ab=時取“=”
∴a+b的取值范圍是[2，+∞）．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．