Question

設雙曲線的中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，F₁、F₂是左、右焦點，是雙曲線上一點，且∠F₁PF₂=60⁰，S△PF1F2=12

3

，又離心率為2，求雙曲線的方程．

Answer 1

不妨設點P在雙曲線的右支上，
設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，|PF₁|=m，|PF₂|=n則有
m-n=2a①
∠F₁PF₂=60⁰
由余弦定理得
m²+n²-2mncos60°=4c²②
∵S△PF1F2=12

3

∴

1

2

mnsin60°=12

3

③
∵離心率為2
∴

c

a

=2④
解①②③④a=2，c=4
∴b²=c²-a²=12
雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

12

=1．