Question

(2007北京西城模擬)設集合W是滿足下列兩個條件的無窮數列的集合：

①；②，其中，M是與n無關的常數．

(1)若是等差數列，是其前n項的和，，．

證明：；

(2)設數列的通項為，且．求M的取值范圍；

(3)設數列的各項均為正整數，且．

證明：．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)設等差數列的公差是d，則，， 解得，d=－2．所以．由 得，適合條件①； 又， 所以當n=4或5時，取得最大值20，即，適合條件②．綜上，． (2)因為． 所以當時，，此時數列單調遞減； 當n=1，2時，， 即， 因此數列中的最大項是， 所以． (3)假設存在正整數k， 使得成立． 由數列的各項均為正整數，可得，即． 因為， 所以． 由及， 得， 故． 因為， 所以．… 依此類推，可得． 設，則當m=P時，有， 這顯然與數列的各項均為正整數矛盾！ 所以假設不成立，即對于任意，都有成立．