Question

已知f（x）是定義在R上連續的偶函數，f（x）的圖象向右平移一個單位長度又得到一個奇函數，且f（2）=-1．則f（8）+f（9）+f（10）+…+f（2012）=

1

．

Answer 1

分析：由題意知偶函數f（x）的關系式f（x）=f（-x），又得f（x+1）=f（-x-1），f（x）在右移之前有對稱中心（-1，0），故函數f（x）存在周期T=4，在利用題中的條件得到函數在一個周期內的數值，利用周期性即可求解．

解答：解：∵f（x）是R上的偶函數，
∴f（x）=f（-x） 用x+1換x，即f（x+1）=f（-x-1）①
∵將f（x）的圖象向右平移一個單位后，得到一個奇函數的圖象，
∴函數f（x）的圖象的對稱中心（-1，0），有f（-1）=0，且f（-1-x）=-f（-1+x）  ②
∴由①②得f（x+1）=-f（-1+x），可得f（x+2）=-f（x），得到f（x+4）=f（x），
∴函數f（x）存在周期T=4，
∵f（2）=-1，f（-1）=0，
利用條件可以推得：f（-1）=f（1）=0，f（2）=-1=-f（0），f（3）=f（4-1）=0，
f（-3）=f（3）=0，f（4）=f（0）=1，
所以在一個周期中f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
∴f（8）+f（9）+f（10）+…+f（2012）=f（8）=f（4）=1．
故答案為：1．

點評：此題考查了利用函數的對稱性及奇偶性找到函數的周期，深刻理解以上性質是解決問題的關鍵，再利用已知的條件求出一個周期內的函數值．