Question

若直線y=x是曲線y=x³-3x²+ax的切線，則a=

 

．

Answer 1

分析：直線與曲線相切，直線已知，即可得出切線斜率，也就得出曲線的導數的方程，設出切點坐標，切點在曲線上，又得到一個方程，兩個方程聯立求解即可．

解答：解：設切點P（x₀，x₀）
∵直線y=x是曲線y=x³-3x²+ax的切線
∴切線的斜率為1
∵y=x³-3x²+ax
∴y′︳x=x0=3x²-6x+a︳x=x0=3x₀²-6x₀+a=1①
∵點P在曲線上
∴x₀³-3x₀²+ax₀=x₀②
由①，②聯立得

x0=0 3 x 2 0 -6x0+a-1=0

③或

x 2 0 -3x0+a-1=0 3 x 2 0 -6x0+a-1=0

④
由③得，a=1
由④得x₀²-3x₀=3x₀²-6x₀解得x₀=0或

3

2

，把x₀的值代入④中，得到a=1或

13

4

綜上所述，a的值為1或

13

4

．
故答案為：1或

13

4

點評：本題為直線與曲線相切的試題，此題比較好，設計的計算比較多，要細心才能算對，應熟練掌握方程聯立的計算問題等．