Question

（本小題滿分13分）
已知三棱錐，平面，，，.

（Ⅰ）把△（及其內部）繞所在直線旋轉一周形成一幾何體，求該幾何體的體積；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）． （Ⅱ）．

本試題主要是考查了幾何體體積的求解，以及二面角的求解的綜合運用。
（1）由于由題設，所得幾何體為圓錐，其底面半徑為4，高為5，根據(jù)圓錐的體積公式可知結論。
（2）合理的建立空間直角坐標系，然后表示出點的坐標，和向量的坐標和求解平面的法向量，利用向量的數(shù)量積性質，得到向量的夾角，從而得到二面角的平面角的大小。
解：（Ⅰ）由題設，所得幾何體為圓錐，其底面半徑為，高為．         
該圓錐的體積．             ………………5分
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，可得各點的坐標，，，．于是，．………………7分
由平面，得平面的一個法向量．……8分
設是平面的一個法向量．
因為，，所以，，
即，，解得，，取，得．…10分
設與的夾角為，則．  ………12分
結合圖可判別二面角是個銳角，它的余弦值為．  ………………13分