Question

給出下列命題：①若復平面內復數所對應的點都在單位圓內，則實
數的取值范圍是；②在復平面內, 若復數z滿足，
則z在復平面內對應的點Z的軌跡是焦點在虛軸上的橢圓；③若=1，則復數
z 一定等于1;④若是純虛數，則實數=±1.其中，正確命
題的序號是                   .

Answer 1

①②

分析：①根據若復平面內復數z="x-" i 所對應的點都在單位圓x²+y²=1內，得到x²+ ＜1，解不等式得到實數x的取值范圍是- ＜x＜知本題正確；②在復平面內，z到兩個定點的距離之和是一個定值，根據橢圓的定義知z軌跡是焦點在虛軸上的橢圓；
③若z³=1，則復數z一定等于1，得到z=1，或z="-" ±i④要滿足x²-1=0，x²+3x+2≠0，而當x=-1時，x²+3x+2=0
解：①∵若復平面內復數z=x-i 所對應的點都在單位圓x²+y²=1內，
∴x²+＜1，
∴x²＜
∴實數x的取值范圍是-＜x＜
∴①正確；
②在復平面內，若復數z滿足|z-i|+|z+i|=4，
由復數的幾何意義知，z到兩個定點的距離之和是一個定值4
且4＜2
∴z在復平面內對應的點Z的軌跡是焦點在虛軸上的橢圓；
∴②正確；
③若z³=1，則復數z一定等于1
當復數z是一個實數時，z=1，
當復數z是一個虛數時，z=-±i
∴③不正確；
④若（x²-1）+（x²+3x+2）i是純虛數，
要滿足x²-1=0，x²+3x+2≠0
而當x=-1時，x²+3x+2=0
∴④不正確．
故答案為：①②