Question

（2012•江西模擬）某游樂(lè)場(chǎng)有A、B兩種闖關(guān)游戲，甲、乙、丙、丁四人參加，其中甲乙兩人各自獨(dú)立進(jìn)行游戲A，丙丁兩人各自獨(dú)立進(jìn)行游戲B．已知甲、乙兩人各自闖關(guān)成功的概率均為

1

3

，丙、丁兩人各自闖關(guān)成功的概率均為

1

2

．
（1）求游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)成功的人數(shù)的概率；
（2）記游戲A、B被闖關(guān)總?cè)藬?shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式及互斥事件的概率公式可求游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)的人數(shù)的概率．
（2）ξ可取0，1，2，3，4，分別求出其概率，能求出ξ的分布列和期望．

解答：解：（1）p=

1

3

×

2

3

×2×(

1

2

)2+

1

3

×

1

3

×

3

4

=

7

36

．
（2）ξ可取0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=（1-

1

3

）²（1-

1

2

）²=

4

36

；
P（ξ=1）=

C

1 2

（

1

3

）（1-

1

3

）

C

0 2

（

1

2

）2+

C

0 2

（1-

1

3

）²

C

1 2

(

1

2

)(1-

1

2

)=

12

36

；
P（ξ=2）=

C

2 2

(

1

3

)2

C

0 2

(1-

1

2

)2 +

C

1 2

(

1

3

)(1-

1

3

)

C

1 2

(

1

2

)(1-

1

2

)+

C

0 2

(1-

1

3

)2

C

2 2

(

1

2

)2=

13

36

；
P（ξ=3）=

C

2 2

(

1

3

)2

C

1 2

(

1

2

)(1-

1

2

)+

C

1 2

(

1

3

)(1-

1

3

)

C

2 2

(

1

2

)2 =

6

36

；
P（ξ=4）=

C

2 2

(

1

3

)2

C

2 2

(

1

2

)2=

1

36

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	4 36	12 36	13 36	6 36	1 36

Eξ=0×

4

36

+1×

12

36

+2×

13

36

+3×

6

36

+4×

1

36

=

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，等可能事件的概率，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．