Question

設函數f(x)=lg(x+

x2+1

)．
（1）確定函數f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性；
（3）證明函數f（x）在其定義域上是單調增函數．

Answer 1

分析：（1）真數恒大于0，可得定義域；
（2）利用奇偶函數的定義可作出判斷；
（3）先用增函數的定義證明f（x）在[0，+∞）上遞增，然后根據奇函數的性質可得結論；

解答：解：（1）由x+

x2+1

＞0恒成立得函數的定義域為R； 
（2）f（x）為定義域內的奇函數，證明如下：
∵f（-x）=lg(

x2+1

-x)=lg

( x2+1 -x)( x2+1 +x)

x2+1+x

=lg

1

x2+1 +x

=lg(

x2+1

+x)-1=-lg(

x2+1

+x)
=-f（x），
∴f（x）為奇函數．
（3）設x₁，x₂∈[0，+∞）且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=lg(

x12+1

+x1)-lg(

x22+1

+x2)=lg

x 2 1 +1 +x1

x 2 2 +1+x2

，
∵x₁＜x₂，∴

x 2 1 +1

＜

x 2 2 +1

，∴0＜

x 2 1 +1 +x1

x 2 2 +1 +x2

＜1，∴lg

x 2 1 +1 +x1

x 2 2 +1 +x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數．
又∵f（x）是奇函數，∴f（x）在R上是增函數．

點評：本題考查定義域的求解、奇偶性單調性的判斷證明，屬基礎題，定義是解決該類題目的基本方法，要熟練掌握．