【題目】已知右焦點為
的橢圓
：
過點
（1）求橢圓的方程；
（2）過點
的直線
交橢圓于點
，連接
（
為坐標原點）交于點
，求
的面積取得最大值時直線的方程.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）由題意可知，左焦點
.所以由橢圓的定義
可求
，再根據
求出
，即可求出橢圓C的方程；
（2）分類討論當直線的斜率存在和不存在兩種情況求
的面積. 當直線的斜率存在時，設出直線方程與橢圓方程聯立，結合韋達定理，表示出的面積，再利用基本不等式求最值.
（1）
橢圓C：
的右焦點為
，
左焦點.
橢圓C過點P
，由橢圓的定義可知
，
.
由橢圓
的方程為.
（2）由題意可知，直線的斜率不為0.
當直線的斜率不存在時，易求
.
當直線的斜率存在時，可設直線
的方程為
.
聯立方程組
消
可得
，
則
，
,
.
是
的中點，
，
，
，當且僅當
，即
時等號成立.
面積的最大值為2.
綜上，面積的最大值為2.
所以直線的方程為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的上頂點為
，以為圓心橢圓的長半軸為半徑的圓與
軸的交點分別為
，
．
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）設不經過點的直線
與橢圓交于
，
兩點，且
，試探究直線是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標，若不過定點，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的長軸長是短軸長的2倍，A，B分別為橢圓的左頂點和下頂點，且
的面積為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點M為橢圓上位于第一象限內一動點，直線
與
軸交于點C，直線
與
軸交于點D，求證：四邊形
的面積為定值．
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【題目】已知向量
，其中
、
，
為銳角，
的圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為
，且當
時，取得最大值3．
（1）求的對稱中心
（2）將的圖象先向下平移1個單位，再將各點橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）得到
的圖象，求在
的值域．
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【題目】已知P（3，
）是橢圓C：
1
上的點，Q是P關于x軸的對稱點，橢圓C的離心率為
.
（1）求橢圓C的方程；
（2）A，B是橢圓上位于直線PQ兩側的動點.
①若直線AB的斜率為
，求四邊形APBQ面積的最大值.
②當A、B在運動過程中滿足∠APQ=∠BPQ時，問直線AB的斜率是否為定值，并說明理由.
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【題目】某城市一社區接到有關部門的通知，對本社區居民用水量進行調研，通過抽樣調查的方法獲得了100戶居民某年的月均用水量（單位：t），通過分組整理數據，得到數據的頻率分布直方圖如圖所示：
（Ⅰ）求圖中m的值；并估計該社區居民月均用水量的中位數和平均值.（保留3位小數）
（Ⅱ）用此樣本頻率估計概率，若從該社區隨機抽查3戶居民的月均用水量，問恰有2戶超過
的概率為多少？
（Ⅲ）若按月均用水量
和
分成兩個區間用戶，按分層抽樣的方法抽取10戶，每戶出一人參加水價調整方案聽證會.并從這10人中隨機選取3人在會上進行陳述發言，設來自用水量在區間
的人數為X，求X的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在三棱錐A﹣BCD中，∠ABC＝∠ABD＝∠CBD＝90°，BC＝BD＝BA＝1，過點A作平面α與BC，BD分別交于P，Q兩點，若AB與平面α所成的角為30°，則截面APQ面積的最小值是（ ）
A.1B.
C.
D.
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【題目】設數列
的前
項和為
，已知
.
（1）令
，求數列
的通項公式；
（2）若數列
滿足：
.
①求數列的通項公式；
②是否存在正整數，使得
成立？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由.
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