Question

已知△ABC的三個頂點在半徑為1的球面上，且AB=1，BC=

3

．若A、C兩點的球面距離為

π

2

，則球心O到平面ABC的距離為（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  2

  2

• C、

  1

  2

• D、

  3

  2

Answer 1

分析：先求得AC的長，由AB=1，BC=

3

，AC=

2

，我們易判斷出△ABC為以A為直角的直角三角形，根據(jù)直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，我們可以求出截面的半徑，再根據(jù)球心距、截面圓半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，我們易得球心O到平面ABC的距離．

解答：解：∵A、C兩點的球面距離為

π

2

，
∴AC=

2

∵AB=1，BC=

3

，AC=

2

，
∴△ABC為以A為直角的直角三角形
∴平面ABC截球得到的截面圓半徑r=

1

2

BC=

3

2

∴球心O到平面ABC的距離d=

R2-r2

=

1

2

故選C．

點評：若球的截面圓半徑為r，球心距為d，球半徑為R，則球心距、截面圓半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，即R²=r²+d²．