Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，側面底面，．

（1）求證：平面平面；

（2）若點為中點，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）證明，推出面，得到，證明，說明面，即可證明面平面．

（2）取中點，以點為原點，分別以為軸、軸、軸建立如圖空間直角坐標系，求出面的法向量，利用空間向量的夾角公式，即可求解直線與平面所成角的正弦值．

（1）由題意，因為，則，

又側面底面，面面，面，

所以面，又面，則

又因為四邊形為平行四邊形，且

則為等邊三角形，則為菱形，則

又，則面，面，則面平面．

（2） 取中點，以點為原點，分別以為軸、軸、軸建立如圖空間直角坐標系，

則，，，，，

由點為中點，，

則，

設面的法向量為，則，則

設直線與面所成角為，則

所以直線與平面所成角的正弦值為．