Question

（本題滿分14分）
數(shù)列，（）由下列條件確定：①；②當(dāng)時(shí)，與滿足：當(dāng)時(shí)，,；當(dāng)時(shí)，，.
（Ⅰ）若，，寫出，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）在數(shù)列中，若(,且)，試用表示；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)數(shù)列滿足，，
(其中為給定的不小于2的整數(shù))，求證：當(dāng)時(shí)，恒有.

Answer 1

（Ⅰ）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823195834215521.png" style="vertical-align:middle;" />，所以,.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823195834277625.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823195834371746.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,.
所以.   …………………………………… 2分
由此猜想，當(dāng)時(shí),，則，.… 3分
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)時(shí)，已證成立.                                            
②假設(shè)當(dāng)（，且）猜想成立，
即，，.
當(dāng)時(shí)，由，得，則，.
綜上所述，猜想成立.
所以.
故.      ……………………………………………… 6分
（Ⅱ）解：當(dāng)時(shí)，假設(shè)，根據(jù)已知條件則有，
與矛盾，因此不成立，     …………… 7分
所以有，從而有，所以.           
當(dāng)時(shí)，，,
所以;      …………………… 8分
當(dāng)時(shí)，總有成立.
又，
所以數(shù)列()是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列, ，,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823195835369438.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.  …………………………… 10分
（Ⅲ）證明：由題意得
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823195835931748.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.           …………………………………… 11分
因此要證,只須證.
由，則<，即.…… 12分
因此
.
所以.
故當(dāng),恒有.      …………………………………………………14分
 

略