Question

【題目】函數f（x）=axn（1﹣x）（x＞0，n∈N*），當n=﹣2時，f（x）的極大值為 ．
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）+lnx≤0；
（3）求證：f（x）＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：n=2時，f（x）=ax2（1﹣x），

∴f′（x）=ax（2﹣3x），

令f′（x）=0得：x=0或x= ，

∵n=2時，f（x）的極大值為 ，

故a＞0，且f（ ）=a × = ，解得：a=1

（2）證明：要證f（x）+lnx≤0，即證xn（1﹣x）+lnx≤0，

設g（x）=xn（1﹣x）+lnx，定義域是（0，+∞），

則g′（x）= ，

∵x＞0，∴x∈（0，1）時，g′（x）＞0，g（x）遞增，

x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）遞減，

∴g（x）的最大值是g（1）=0，∴g（x）≤0成立，命題得證

（3）證明：∵f（x）=xn（1﹣x），∴f′（x）=nxn﹣1﹣（n+1）xn=（n+1）xn﹣1（ ﹣x），

顯然，f（x）在x= 處取得最大值，f（ ）= ，

因此只需證： ＜ ，即證： ＜ ，

兩邊取對數，原式ln ＜﹣ ，

設t= （0＜t＜1），則n= ， =1﹣t，

因此只需證：lnt＜t﹣1即可，

令ω（t）=lnt﹣t+1，∵0＜t＜1，

∴ω′（t）= ﹣1＞0，ω（t）在（0，1）遞增，

故ω（t）＜ω（1）=0成立，

即lnt＜t﹣1，結論成立．

【解析】（1）求出函數的對數，根據n=2時，f（x）的極大值為 ，得到f（ ）=a × = ，解出即可；（2）問題轉化為證xn（1﹣x）+lnx≤0，設g（x）=xn（1﹣x）+lnx，根據函數的單調性證明即可；（3）求出f（x）的最大值，問題轉化為證明： ＜ ，通過取對數結合換元思想以及函數的單調性證明即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．