Question

（2013•寧德模擬）已知函數(shù)f（x）=ax²+a（x＞0）的圖象恒在直線y=-2x的下方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

A．（-∞，-1）

B．（-1，0）∪（0，+∞）

C．（-∞，0）

D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：把恒成立問題等價轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)即可得出a的取值范圍．

解答：解：由題意可得：當(dāng)x＞0時，-2x-（ax²+a）＞0恒成立．
即x∈（0，+∞）時，a＜

-2x

x2+1

恒成立?a＜[

-2x

x2+1

]min，x∈（0，+∞）．
令g(x)=

-2x

x2+1

，x∈（0，+∞），則g′(x)=

2(x+1)(x-1)

(x2+1)2

，
令g^′（x）=0，則x=1．
當(dāng)x＞1時，g^′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)0＜x＜1時，g^′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時，函數(shù)g（x）取得極小值g（1）=-1，也是最小值．
∴a＜-1．
因此a的取值范圍是（-∞，-1）．
故選A．

點(diǎn)評：正確把恒成立問題等價轉(zhuǎn)化，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值最值是解題的關(guān)鍵．