Question

在一種智力有獎競猜游戲中，每個參加者可以回答兩個問題（題1和題2），且對兩個問題可以按自己選擇的順序進行作答，但是只有答對了第一個問題之后才能回答第二個問題．假設：答對題i（i=1，2），就得到獎金a_i元，且答對題i的概率為
P_i（i=1，2），并且兩次作答不會相互影響．
（I）當a₁=200元，P₁=0.6，a₂=100元，P₂=0.8時，某人選擇先回答題1，設獲得獎金為ξ，求ξ的分布列和Eξ；
（II）若a₁=2a₂，P₁+P₂=1，試問：選擇先回答哪個問題時可能得到的獎金更多？

Answer 1

分析：（I）根據當a₁=200元，P₁=0.6，a₂=100元，P₂=0.8時，得到對應的變量的概率，寫出分布列．
（II）選擇先回答題1，得到的獎金為ξ；選擇先回答題2，得到的獎金為η，表示出這兩個變量的期望，把兩個期望值進行比較，討論在概率取值不同的情況下，對應的獎金情況．

解答：解：（I）根據所給的條件得到分布列：

ξ	0	200	300
P	0.4	0.12	0.48

…（3分）
∴Eξ=0×0.4+200×0.12+300×0.48=168…（5分）
（II）設選擇先回答題1，得到的獎金為ξ；選擇先回答題2，得到的獎金為η
則有Eξ=a₁p₁（1-p₂）+（a₁+a₂）p₁p₂
Eη=a₂p₂（1-p₁）+（a₁+a₂）p₁p₂…（8分）
根據題意可知：
Eξ-Eη=a₁p₁（1-p₂）+（a₁+a₂）p₁p₂-a₂p₂（1-p₁）+（a₁+a₂）p₁p₂=a₁（p₁²+2p₁-1）
當p₁²+2p₁-1=0時，p1=-1±

2

（負號舍去）…（10分）
∴當

2

-1＜p1＜1時，p₁²+2p₁-1＞0，Eξ＞Eη，先答題1可能得到的獎金更高；…（12分）
當P1=

2

-1時，p₁²+2p₁-1=0，Eξ=Eη，先答題1或題2可能得到的獎金一樣多；
當0＜P₁＜

2

-1時，p₁²+2p₁-1＜0，Eξ＜Eη，先答題2可能得到的獎金更多．…（14分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，本題解題的關鍵是看出變量對應的概率和期望，利用做差方法進行比較．