Question

【題目】已知函數h（x）=lnx+ ．
（1）函數g（x）=h（2x+m），若x=1是g（x）的極值點，求m的值并討論g（x）的單調性；
（2）函數φ（x）=h（x）﹣ +ax2﹣2x有兩個不同的極值點，其極小值為M，試比較2M與﹣3的大小關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：g（x）=ln（2x+m）+ ，（x＞﹣ ），

g′（x）= ﹣ = ，

若x=1是g（x）的極值點，

則g′（x）= =0，解得：m=﹣1，

故g（x）=ln（2x﹣1）+ ，（x＞ ），

g′（x）= ，

令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得： ＜x＜1，

故g（x）在（ ，1）遞減，在（1，+∞）遞增

（2）解：φ（x）=h（x）﹣ +ax2﹣2x=ax2﹣2x+lnx（x＞0）

φ′（x）=2ax﹣2+ = （x＞0）

∵φ（x）有兩個不同的極值點，

∴2ax2﹣2x+1=0在（0，+∞）有兩個不同的實根．

設p（x）=2ax2﹣2x+1=0，

則 ，即 ，即有0＜a＜ ．

設p（x）在（0，+∞）的兩根x1，x2且x1＜x2，

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
φ′（x）	+	0	﹣	0	+
φ（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

∴φ（x）的極小值為M=φ（x2）=ax22﹣2x2+lnx2

又p（x）=0在（0，+∞）的兩根為x1，x2，

∴2ax22﹣2x2+1=0

∴φ（x）極小值=M=φ（x2）=ax22﹣2x2+lnx2

=x2﹣ ﹣2x2+lnx2=﹣ +lnx2﹣x2，

∴2M=﹣1+2lnx2﹣2x2，

∵x2= （0＜a＜ ）

∴x2＞1令v（x）=﹣1+2lnx﹣2x，v′（x）= ﹣2，

∴x＞1時，v′（x）＜0，v（x）在（1，+∞）遞減，

∴x＞1時，v（x）=﹣1+2lnx﹣2x＜v（1）=﹣3，

∴2M＜﹣3．

【解析】（1）求出g（x）=h（x+m）的導數，根據g′（1）=0，求出m的值，從而求出g（x）的解析式，求出函數的單調區間即可；（2）對φ（x）求導數，φ（x）有兩個不同的極值點，即為2ax2﹣2x+1=0在（0，+∞）有兩個不同的實根．設p（x）=2ax2﹣2x+1=0，運用韋達定理和判別式，即可得到0＜a＜ ．列表得到φ（x）的單調區間和極值的關系，即可得到極小值M，令v（x）=﹣1+2lnx﹣2x，運用導數，得到v（x）在（1，+∞）遞減，運用單調性即可得到2M＜﹣3．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．