Question

在某兩個正數x，y之間，若插入一個數a，使x，a，y 成等差數列，若插入兩個數b，c，使x，b，c，y成等比數列。
求證：（a+1）²≥（b+1）（c+1）。

Answer 1

證明：由條件，得，
消去x，y，即得，且有a>0，b>0，c>0，
要證（a+1）²≥（b+1）（c+1），
只需證，
即證
也就是證 2a≥b+c，
而，只要證，
即證b³+c³= （b+c）（b²+c²-bc）≥（b+c）bc，
即證b²+c²-bc≥bc，
即證（b -c）²≥0，
因為上式顯然成立，
所以（a+1）²≥（b+1）（c+1）。