Question

【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知側面ABB1A1是菱形，側面BCC1B1是正方形，點A1在底面ABC的投影為AB的中點D．
（1）證明：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；
（2）設P為B1C1上一點，且 ，求二面角A1﹣AB﹣P的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵點A1在底面ABC的投影為AB的中點D，

∴A1D⊥平面ABC，則A1D⊥BC，

又∵側面BCC1B1是正方形，∴B1B⊥BC，

∵B1B與A1D在平面ABB1A1上不平行，

∴BC⊥平面ABB1A1，

∴平面AA1B1B⊥平面BB1C1C

（2）解：如圖所示，以點D為坐標原點建立空間直角坐標系，

不妨設菱形邊長為2，得D（0，0，0），A（0，﹣1，0），B（0，1，0），

∵D為AB的中點，且有A1D⊥AB，∴AA1=A1B，

又∵平面ABB1A1為菱形，∴△A1AB為等邊三角形，

從而 ，從而 ，

∴點A1的坐標為 ，

∵ ，∴ ，

又∵ ，∴ ，

設平面ABP的法向量為 ，

由 ， ，

得 ，即 ，

令 ，則 ，y=0，∴ ，

同理求得平面ABB1A1的法向量 ，

∴ ，

∴ ，

從而二面角A1﹣AB﹣P的正弦值為 ．

【解析】（1）由點A1在底面ABC的投影為AB的中點D，可得A1D⊥平面ABC，則A1D⊥BC，再由已知可得B1B⊥BC，由線面垂直的判定可得BC⊥平面ABB1A1 ， 從而得到平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（2）以點D為坐標原點建立空間直角坐標系，設菱形邊長為2，得到對應點的坐標，求出平面ABP與平面ABB1A1的法向量，由兩法向量所成角的余弦值求得二面角A1﹣AB﹣P的正弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．