Question

【題目】已知定義域為的函數是奇函數，為指數函數且的圖象過點.

（1）求實數n的值并寫出的表達式；

（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數t的范圍；

（3）若方程恰有4個互異的實數根，求實數a的范圍.

Answer 1

【答案】（1），（2）（3）

【解析】

（1）首先求得指數函數的解析式，再根據定義在上的奇函數，得到，由此求得的值并求得的表達式.

（2）根據的單調性和奇偶性化簡不等式，得到，構造函數，結合一次函數的性質列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.

（3）根據函數為奇函數化簡，根據是單調函數得到，利用換元法，構造函數，結合圖像求得的取值范圍.

（1）由題意可設個，又過點得，

所以，又為奇函數，∴得

所以

（2）由，在上單調遞減，

又為奇函數，由得

所以，即

令，由題意得，

（3）由于為奇函數，所以由得，又在上遞減，

顯然，∴令，則

方程有4個互異實數根，畫出的圖象如下圖所示，由圖可得.