Question

已知函數y=b+ax2+2x，（a，b是常數a＞0且a≠1）在區間[-

3

2

，0]上有y_max=3，y_min=

5

2

（1）求a，b的值；
（2）若a∈N^*當y＞10時，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出t=x²+2x的值域，然后分a＞1，0＜a＜1兩種情況進行討論，根據單調性可得函數的最值，由已知可得方程組，解出即可；
（2）由（1）及a∈N^*可得a，b值，代入解不等式即可；

解答：解：（1）x∈[-

3

2

，0]，t=x2+2x=(x+1)2-1的值域為[-1，0]，即t∈[-1，0]，
若a＞1，函數y=a^t在R上單調遞增，
所以，at∈[

1

a

，1]，則b+ax2+2x∈[b+

1

a

，b+1]，
所以

b+ 1 a = 5 2 b+1=3

⇒

a=2 b=2

；
若0＜a＜1，函數y=a^t在R上單調遞減，at∈[1，

1

a

]，則b+ax2+2x∈[b+1，b+

1

a

]，
所以

b+ 1 a =3 b+1= 5 2

⇒

a= 2 3 b= 3 2

，
所以a，b的值為

a= 2 3 b= 3 2

或

a=2 b=2

；
（2）由（1）可知a=2，b=2，
則2+2x2+2x＞10，即x²+2x＞3⇒x²+2x-3＞0，
解得x＞1或x＜-3，
所以x的取值范圍為{x|x＞1或x＜-3}．

點評：本題考查復合函數的單調性、函數的最值，屬中檔題．