Question

（本小題滿分12分） 已知函數f(x)＝log_a(1＋x)，g(x)＝log_a(1－x)，其中(a>0且a≠1)，設h(x)＝f(x)－g(x)．
(1)求函數h(x)的定義域；
(2)判斷h(x)的奇偶性，并說明理由；
(3)若f(3)＝2，求使h(x)>0成立的x的集合．

Answer 1

(1) (－1,1)．(2) h(x)是奇函數．(3) {x|0<x<1}．

(1)求f(x)和g(x)的定義域的交集即為h(x)的定義域.
（２）因為h(-x)=-h(x),所以h(x)為奇函數.
（３）由f(3)＝2，得a＝2. h(x)>0即log₂(1＋x)－log₂(1－x)>0，即log₂(1＋x)>log₂(1－x)，利用對數函數的單調性可轉化為1+x>1-x>0，解此不等式即可.
(1)由對數的意義，分別得1＋x>0，1－x>0，即x>－1，x<1.
∴函數f(x)的定義域為(－1，＋∞)，函數g(x)的定義域為(－∞，1)，
∴函數h(x)的定義域為(－1,1)．
(2)∵對任意的x∈(－1,1)，－x∈(－1,1)，
h(－x)＝f(－x)－g(－x)
＝log_a(1－x)－log_a(1＋x)
＝g(x)－f(x)＝－h(x)，
∴h(x)是奇函數．
(3)由f(3)＝2，得a＝2.
此時h(x)＝log₂(1＋x)－log₂(1－x)，
由h(x)>0即log₂(1＋x)－log₂(1－x)>0，
∴log₂(1＋x)>log₂(1－x)．
由1＋x>1－x>0，解得0<x<1.
故使h(x)>0成立的x的集合是{x|0<x<1}．