Question

如圖，某城市設立以城中心O為圓心、r公里為半徑的圓形保護區，從保護區邊緣起，在城中心O正東方向上有一條高速公路PB、西南方向上有一條一級公路QC，現要在保護區邊緣PQ弧上選擇一點A作為出口，建一條連接兩條公路且與圓O相切的直道BC．已知通往一級公路的道路AC每公里造價為a萬元，通往高速公路的道路AB每公里造價是m²a萬元，其中a，r，m為常數，設∠POA=θ，總造價為y萬元．
（1）把y表示成θ的函數y=f（θ），并求出定義域；
（2）當m=

6 + 2

2

時，如何確定A點的位置才能使得總造價最低？

Answer 1

分析：（1）由題意可得AB=rtanθ，AC=rtan(

3π

4

-θ)，可得y=ar[m2tanθ+tan(

3π

4

-θ)]，由正切函數的定義域可得可得函數的定義域為：(

π

4

，

π

2

)；
（2）由（1）可得y=ar[m2tanθ+tan(

3π

4

-θ)]，可化為y=ar[m2(tanθ-1)+

2

1-tanθ

+m2+1]，由基本不等式可得m2(tanθ-1)+

2

1-tanθ

≥2

2

m，由取等號的條件可得答案．

解答：解：（1）∵BC與圓O相切于A，∴OA⊥BC，在△OAB中，AB=rtanθ，…（2分）
同理，可得AC=rtan(

3π

4

-θ)…（4分）
∴y=m2aAB+aAC=m2artanθ+artan(

3π

4

-θ)，
∴y=ar[m2tanθ+tan(

3π

4

-θ)]，…（6分）
可得函數的定義域為：(

π

4

，

π

2

)…（8分）
（2）由（1）可得y=ar[m2tanθ+tan(

3π

4

-θ)]
=ar[m2tanθ+

-1-tanθ

1-tanθ

]
=ar[m2(tanθ-1)+

2

tanθ-1

+m2+1]
∵θ∈(

π

4

，

π

2

)，∴tanθ-1＞0，
∴m2(tanθ-1)+

2

tanθ-1

≥2

2

m，
當且僅當m2(tanθ-1)=

2

tanθ-1

，即tanθ=

2

m

-1時取等號，
又m=

6 + 2

2

，所以tanθ=

3

，∴θ=60°
故當θ取60°，即A點在O東偏南60°的方向上，總造價最低．     …（16分）

點評：本題考查函數的定義域及其求法，涉及基本不等式的應用，屬中檔題．