Question

如圖，已知平行六面體ABC-A₁B₁C₁的底面為正方形，O₁，O分別為上、下底面中心，且A₁在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（2）若點E、F分別在棱AA₁、BC上，且AE=2EA₁，問F在何處時，EF⊥AD？

Answer 1

解．（1）∵平行六面體底面為正方形，∴A₁A∥CC₁，∴A₁C₁∥AC，
又O₁，O分別為上下底面中心，∴A₁O₁∥CO，A₁O₁=CO，
∴四邊形A₁O₁CO為平行四邊形，∴CO₁∥A₁O．
A₁在底面ABCD射影為O，∴A₁O⊥平面AC，所以CO₁⊥平面AC，
又CO₁?平面O₁DC，∴平面O₁DC⊥平面ABCD．
（2）過E作AC垂線，垂足為G，則EG∥A₁O，∴EG⊥平面AC，
若要EF⊥AD，即EF⊥BC，則需GF⊥BC，
∵底面ABCD為正方形，∴FG∥AB，
由A₁E=AE，則OG=AG，∴====，
∴F為BC的三等分點，靠近B．
分析：（1）根據面面垂直的判定定理，只需證明CO₁⊥平面ABCD，因為A₁在底面ABCD上的射影為O，從而可證明在平行四邊形ACC₁A₁中，CO₁∥A₁O．
（2）過E作AC垂線，垂足為G，易證EG⊥平面AC，要EF⊥AD，即EF⊥BC，則需證明GF⊥BC，而FG∥AB，由比例關系可求得F點位置．
點評：本題考查面面垂直、線面垂直的判定，屬基礎題，相關判定定理是解決有關問題的基礎．