Question

已知△ABC的周長為

2

+1，面積為S，且sinA+sinB=

2

sinC．
（ I）求邊AB的長；
（ II）若2S=（a+b）²-c²，求tanC的值．

Answer 1

分析：（ I）直接根據周長為

2

+1，結合sinA+sinB=

2

sinC利用正弦定理轉化得到的結論即可求邊AB的長；
（ II）先根據面積公式得到absinC=a²+b²-c²+2ab，再結合余弦定理即可得到sinC=2（1+cosC）；根據二倍角公式可以先求出tan

C

2

；最后結合二倍角的正切即可求出結論．

解答：解：（ I）由題意得AB+BC+AC=

2

+1，
根據正弦定理，BC+AC=

2

AB，
兩式相減，得AB=1．…．（4分）
（ II）依題意，得absinC=a²+b²-c²+2ab…（5分）
由余弦定理知：a²+b²-c²=2abcosC…．（6分）
∴absinC=2ab（1+cosC），即sinC=2（1+cosC）…..（7分）
由二倍角公式可得：sin

C

2

cos

C

2

=2cos²

C

2

…..（9分）
又0°＜C＜180°，
∴cos

C

2

≠0，∴sin

C

2

=2cos

C

2

，
即tan

C

2

=2…（10分）
∴tanC=

2tan C 2

1-tan2 C 2

=

4

1-4

=-

4

3

…..（12分）

點評：本題主要考查正余弦定理以及二倍角公式的應用．解決這一類型題目的關鍵在于對公式的熟練掌握以及靈活運用．