Question

（2013•烏魯木齊一模）PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．我國PM2.5標準采用世衛組織設定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質量為一級；在35微克/立方米\～75微克/立方米之間空氣質量為二級；在75微克/立方米以上空氣質量為超標．
某試點城市環保局從該市市區2011年全年每天的PM2.5監測數據中隨機的抽取15天的數據作為樣本，監測值如莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉）
（Ⅰ）從這15天的PM2.5日均監測數據中，隨機抽出三天，求恰有一天空氣質量達到一級的概率；
（Ⅱ）從這15天的數據中任取三天數據，記ξ表示抽到PM2.5監測數據超標的天數，求ξ的分布列；
（Ⅲ）以這15天的PM2.5日均值來估計一年的空氣質量情況，則一年（按360天計算）中平均有多少天的空氣質量達到一級或二級．

Answer 1

分析：（Ⅰ）從15天的PM2.5日均監測數據中，隨機抽出三天，共有

C

3 15

種情況，恰有一天空氣質量達到一級，共有

C

1 5

•

C

2 10

種情況，由此可求概率；
（Ⅱ）ξ服從超幾何分布：其中N=15，M=5，n=3，ξ的可能值為0，1，2，3，故可得其分布列；
（Ⅲ）一年中每天空氣質量達到一級或二級的概率為P=

10

15

=

2

3

，一年中空氣質量達到一級或二級的天數為η，則η～B(360，

2

3

)，求出期望，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）記“從15天的PM2.5日均監測數據中，隨機抽出三天，恰有一天空氣質量達到一級”為事件A，…（1分）P(A)=

C 1 5 • C 2 10

C 3 15

=

45

91

．…（4分）
（Ⅱ）依據條件，ξ服從超幾何分布：其中N=15，M=5，n=3，ξ的可能值為0，1，2，3，其分布列為：P(ξ=k)=

C k 5 C 3-k 10

C 3 15

 (k=0，1，2，3)．…（6分）

ξ	0	1	2	3
P	24 91	45 91	20 91	2 91

…（8分）
（Ⅲ）依題意可知，一年中每天空氣質量達到一級或二級的概率為P=

10

15

=

2

3

，
一年中空氣質量達到一級或二級的天數為η，則η～B(360，

2

3

)．…（10分）
∴Eη=360×

2

3

=240，∴一年中平均有240天的空氣質量達到一級或二級．…（12分）

點評：本題考查等可能事件概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列，考查利用數學知識解決實際問題，屬于中檔題．