Question

【題目】設函數f（x）=3ax2﹣2（a+b）x+b，（0≤x≤1）其中a＞0，b為任意常數．
（I）若b= ，f（x）=|x﹣ |在x∈[0，1]有兩個不同的解，求實數a的范圍．
（II）當|f（0）|≤2，|f（1）|≤2時，求|f（x）|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（I）
①當 時，則 ，即3ax2﹣2ax=0，解得x=0
②當 時，則 ，即3ax2﹣2（a+1）x+1=0
令t（x）=3ax2﹣2（a+1）x+1，因為 ，只要t（1）=a﹣1≥0即可
所以a≥1
（II）設|f（x）|的最大值為M
①當 ，函數f（x）在[0，1]遞減函數，M=|f（0）|≤2
②當 ，函數f（x）在[0，1]遞增函數，M=|f（1）|≤2
③當 時，即﹣a＜b＜2a時，
（ⅰ）當 時，即
則 ，則f（1）﹣ = ＞0
所以 M≤2
（ⅱ）當 時，即 時，可得 ，即
則f（0）﹣ ＞0
所以M≤2
綜上M=2，當a=2，b=2，f（x）=12x2﹣12x+2，M=2
【解析】（Ⅰ）通過討論x的范圍，去掉絕對值，關于a的不等式，求出a的范圍即可；（Ⅱ）求出函數的對稱軸，通過討論a的范圍，確定函數的單調性，求出|f（x）|的最大值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．