Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若不過原點的直線l與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線l的方程；
（2）從圓C外一點P（x，y）向圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|=|PO|，求點P的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）把圓的方程化為標準方程，找出圓心坐標和半徑，由直線l不過原點，得到該直線在坐標軸上的截距不為0，設出直線l的截距式方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，讓d等于圓的半徑列出關于a的方程，求出方程的解可得到a的值，確定出直線l的方程；
（2）由切線的性質，得到三角形PCM為直角三角形，利用勾股定理得到|PC|²=|PM|²+r²，表示出|PM|²，由|PM|=|PO|，進而得到|PO|²，由設出的P的坐標和原點坐標，利用兩點間的距離公式表示出|PO|，可得出|PO|²，兩者相等，化簡可得點P的軌跡方程．

解答：解：（1）將圓C配方得（x+1）²+（y-2）²=2．
由題意知直線在兩坐標軸上的截距不為零，設直線方程為x+y-a=0，
由

|-1+2-a|

2

=

2

，得|a-1|=2，即a=-1，或a=3．
∴直線方程為x+y+1=0，或x+y-3=0；…（6分）
（2）由于|PC|²=|PM|²+|CM|²=|PM|²+r²，
∴|PM|²=|PC|²-r²．
又∵|PM|=|PO|，
∴|PC|²-r²=|PO|²，
∴（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²．
∴2x-4y+3=0即為所求．…（12分）

點評：此題考查了圓的切線方程，以及動點的軌跡方程，涉及的知識有：圓的標準方程，點到直線的距離公式，直線的截距式方程，切線的性質，勾股定理以及兩點間的距離公式，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，常常利用切線長，圓的半徑及圓心到圓外點的距離構造直角三角形來解決問題．