Question

設F₁，F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，若在其右準線上存在P，使線段PF₁的中垂線過點F₂，則橢圓離心率的取值范圍是（　　）

• A、(0，

  2

  2

  ]
• B、(0，

  3

  3

  ]
• C、[

  2

  2

  ，1)
• D、[

  3

  3

  ，1)

Answer 1

分析：根據題意，設P的坐標為(

a2

c

，y)，進而可得F₁P的中點Q的坐標，結合題意，線段PF₁的中垂線過點F₂，可得y與b、c的關系，又由y²的范圍，計算可得答案．

解答：解：由已知P(

a2

c

，y)，所以F₁P的中點Q的坐標為(

b2

2c

，

y

2

)，
由kF1P=

cy

b2

，kQF2=

cy

b2-2c2

，kF1P•kQF2=-1，?y2=2b2-

b4

c2

．
∴y2=(a2-c2)(3-

1

e2

)＞0?(3-

1

e2

)＞0，1＞e＞

3

3

．
當kF1P=0時，kQF2不存在，
此時F₂為中點，

a2

c

-c=2c?e=

3

3

．
綜上得

3

3

≤e＜1．
故選D．

點評：本題考查橢圓的性質的應用，要牢記橢圓的有關參數，如a、b、c之間的關系．