Question

設f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax
（1）若f（x）在(

2

3

，+∞)上存在單調遞增區間，求a的取值范圍．
（2）當0＜a＜2時，f（x）在[1，4]的最小值為-

16

3

，求f（x）在該區間上的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用函數遞增，導函數大于0恒成立，求出導函數的最大值，使最大值大于0．
（2）求出導函數的根，判斷出根左右兩邊的導函數的符號，求出端點值的大小，求出最小值，列出方程求出a，求出最大值．

解答：解：（1）f′（x）=-x²+x+2a
f（x）在(

2

3

，+∞)存在單調遞增區間
∴f′（x）＞0在(

2

3

，+∞)有解
∵f′（x）=-x²+x+2a對稱軸為x=

1

2

∴f′(x)=-x2+x+2a在(

1

2

，+∞)遞減
∴f′(x)＜f′(

2

3

)=

2

9

+2a＞0
解得a＞-

1

9

．

（2）當0＜a＜2時，△＞0；
f′（x）=0得到兩個根為

-1- 1+8a

-2

；

-1+ 1+8a

-2

（舍）
∵

-1- 1+8a

-2

∈[1，4]
∴1＜x＜

-1- 1+8a

-2

時，f′（x）＞0；

-1- 1+8a

-2

＜x＜4時，f′（x）＜0
當x=1時，f（1）=2a+

1

6

；當x=4時，f（4）=8a-

40

3

＜f（1）
當x=4時最小∴8a-

40

3

=-

16

3

解得a=1
所以當x=

-1- 1+8a

-2

=2時最大為

10

3

點評：本題考查利用導函數求參數的范圍、利用導函數求函數的單調性、求函數的最值．