Question

（12分）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，點、分別是橢圓的左、右焦點，在橢圓的右準線上的點，滿足線段的中垂線過點．直線：為動直線，且直線與橢圓交于不同的兩點、．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若在橢圓上存在點，滿足（為坐標原點），
求實數的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當取何值時，的面積最大，并求出這個最大值．

Answer 1

（Ⅰ）所求橢圓方程為。
（Ⅱ）實數的取值范圍是．
（Ⅲ）當時，的面積最大，最大值為．

解：（Ⅰ）設橢圓的方程為，半焦距為，依題意有
 解得　　　　．
所求橢圓方程為．       　　　 　 ……………………………3分
（Ⅱ）由，得．
設點、的坐標分別為、，則……4分
．
（1）當時，點、關于原點對稱，則．
（2）當時，點、不關于原點對稱，則，
由，得      即
點在橢圓上，有，
將①、②兩式，得．
，，則且．
綜合（1）、（2）兩種情況，得實數的取值范圍是． ………………9分
【注】 此題可根據圖形得出當時，當、兩點重合時．
如果學生由此得出的取值范圍是可酌情給分．
（Ⅲ），點到直線的距離，
的面積
．          ………………………… 10分
由①有，代入上式并化簡，得．
，．                   ……………………… 11分
當且僅當，即時，等號成立．
當時，的面積最大，最大值為． ……………………… 12分