Question

設f（x）是定義在[a，b]上的函數，用分點T：a=x₀＜x₁＜…＜x _i﹣1＜x_i＜…x_n=b
將區間[a，b]任意劃分成n個小區間，
如果存在一個常數M＞0，使得
和≤M（i=1，2，…，n）恒成立，
則稱f（x）為[a，b]上的有界變差函數．
（1）函數f（x）=x²在[0，1]上是否為有界變差函數？請說明理由；
（2）設函數f（x）是[a，b]上的單調遞減函數，證明：f（x）為[a，b]上的有界變差函數；
（3）若定義在[a，b]上的函數f（x）滿足：存在常數k，使得對于任意的x₁、x₂∈[a，b]時，|f（x₁）﹣f（x₂）|≤k|x₁﹣x₂|．證明：f（x）為[a，b]上的有界變差函數．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x²在[0，1]上是增函數
∴對任意劃分T，f（x_n）＞f（x _n﹣1）|f（x_i）﹣f（x _i﹣1）|
                                       =f（x₁）﹣f（x₀）+…+f（x_n）﹣f（x_n﹣1）
                                       =f（1）﹣f（0）=1
取常數M≥1，則和式（i=1，2，3…n）恒成立
所以函數f（x）在[0，1]是有界變差函數
（2）∵函數f（x）是[a，b]上的單調遞減函數任意的劃分T，
a=x₀＜x₁＜…＜x _i﹣1＜x_i＜…＜x_n=b
∴=f（x₀）-f（x₁）+ f（x₁）-f（x₂）+...+f（x _n-1）-f（x_n）
                              =f（a）- f（b）
∴一定存在一個常數M＞0，使f（a）﹣f（b）≤M
故f（x）為[a，b]上有界變差函數
（3）∵|f（x₁）﹣f（x₂）|≤k|x₁﹣x₂|
∴對任意的劃分T，a=x₀＜x₁＜…＜x _i﹣1＜x _i＜…＜x_n
                                    =b
                                    ==k（b﹣a）
取常數M=k（b﹣a）f（x）為有界變差函數．