【題目】已知數列
中，對任何正整數n都有: 
（1）若數列是首項和公差都是1的等差數列，求證：數列是等比數列；
（2）若數列是首項為1的等比數列，數列是否是等差數列？若是請求出通項公式.
【答案】（1）見解析；（2）當等比數列
的公比
時，數列
是等差數列，其通項公式是
；當等比數列的公比不是2時，數列不是等差數列.
【解析】
（1）根據等差數列的性質求得數列的通項公式，代入
中，利用錯位相減法，結合數列的項與和的關系求得
，進而推斷數列是首項為1，公比為2的等比數列；
（2）設等比數列的公比為
，結合首項為1，代入，整理得到
，進而求得
的表達式，要使
是與
無關的常數，必須，進而得出結論當等比數列的公比時，數列是等差數列，其通項公式是；當等比數列的公比不是2時，數列不是等差數列.
（1）依題意數列的通項公式是，
故等式即為
，
，
兩式相減得
，驗證
時也成立，
可求得，
所以數列是首項為1，公比為2的等比數列；
（2）設等比數列的公比為，則
，
從而有
，
，
所以，
，
要使是與無關的常數，必需，
即當等比數列的公比時，數列是等差數列，其通項公式是；
當等比數列的公比不是2時，數列不是等差數列.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現從某醫院中隨機抽取了
位醫護人員的關愛患者考核分數(患者考核:
分制)，用相關的特征量
表示；醫護專業知識考核分數(試卷考試:
分制),用相關的特征量
表示，數據如下表:
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（1）求關于的線性回歸方程(計算結果精確到
)；
（2）利用(1)中的線性回歸方程，分析醫護專業考核分數的變化對關愛患者考核分數的影響，并估計當某醫護人員的醫護專業知識考核分數為
分時，他的關愛患者考核分數(精確到
).
參考公式及數據:回歸直線方程
中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為
，其中
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，點
在第一象限，以
為直徑的圓與
軸相切，動點的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）若曲線在點處的切線的斜率為
，直線的斜率為
，求滿足
的點的個數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的右焦點為
，過點且與
軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為
，且與短軸兩端點的連線相互垂直.
（1）求橢圓
的方程；
（2）若圓
上存在兩點
，
，橢圓上存在兩個點
滿足：
三點共線，
三點共線，且
，求四邊形
面積的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為迎接“五一”節的到來，某單位舉行“慶五一，展風采”的活動．現有6人參加其中的一個節目，該節目由
兩個環節可供參加者選擇，為增加趣味性，該單位用電腦制作了一個選擇方案：按下電腦鍵盤“Enter”鍵則會出現模擬拋兩枚質地均勻骰子的畫面，若干秒后在屏幕上出現兩個點數
和
，并在屏幕的下方計算出
的值．現規定：每個人去按“Enter”鍵，當顯示出來的
小于
時則參加
環節，否則參加
環節．
（1）求這6人中恰有2人參加該節目環節的概率；
（2）用
分別表示這6個人中去參加該節目兩個環節的人數，記
，求隨機變量
的分布列與數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為迎接國慶匯演，學校擬對參演的班級進行獎勵性加分表彰，每選中一個節目，其班級量化考核積分加3分.某班級準備了三個文娛節目，這三個節目被選中的概率分別為
，
，
，且每個節目是否被選中是相互獨立的.
（1）求該班級被加分的概率；
（2）求該班級獲得獎勵性積分
的分布列與數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列四種說法：
①命題“
，
”的否定是“
，
”；
②若不等式
的解集為
，則不等式
的解集為
；
③對于，
恒成立，則實數a的取值范圍是
；
④已知p：
，q：
（
），若p是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是
正確的有________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知長度為
的線段
的兩個端點
分別在
軸和
軸上運動，動點
滿足
，設動點的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）過點
，且斜率不為零的直線
與曲線交于兩點
，在軸上是否存在定點
，使得直線
與
的斜率之積為常數？若存在，求出定點的坐標以及此常數；若不存在，請說明理由.
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