Question

已知函數的兩條切線PM、PN，切點分別為M、N.
（I）當時，求函數的單調遞增區間；
（II）設|MN|=，試求函數的表達式；
（III）在（II）的條件下，若對任意的正整數，在區間內總存在成立，求m的最大值.

Answer 1

（I）函數有單調遞增區間為
（II）
（III）m的最大值為6.

解：（I）當  .
則函數有單調遞增區間為
（II）設M、N兩點的坐標分別為、，

同理，由切線PN也過點（1，0），得 （2）
由（1）、（2），可得的兩根，


把（*）式代入，得因此，函數
（III）易知上為增函數，




由于m為正整數，.
又當  因此，m的最大值為6.