Question

【題目】已知△ABC的兩頂點坐標(biāo)A（﹣1，0），B（1，0），圓E是△ABC的內(nèi)切圓，在邊AC，BC，AB上的切點分別為P，Q，R，|CP|=1（從圓外一點到圓的兩條切線段長相等），動點C的軌跡為曲線M．
（I）求曲線M的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線BC與曲線M的另一交點為D，當(dāng)點A在以線段CD為直徑的圓上時，求直線BC的方程．

Answer 1

【答案】解：（I）由題知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4＞|AB|，

所以曲線M是以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓（挖去與x軸的交點），

所以a=2，c=1，

所以b= ，

所以曲線M： （y≠0）為所求．

（Ⅱ）注意到直線BC的斜率不為0，且過定點B（1，0），

設(shè)直線BC的方程為x=my+1，C（x1，y1），D（x2，y2），

與橢圓方程聯(lián)立，消x得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，

所以y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣

因為 =（my1+2，y1）， =（my2+2，y2），

所以 =（my1+2）（my2+2）+y1y2=

注意到點A在以CD為直徑的圓上，所以 =0，即m=±

所以直線BC的方程 或 為所求

【解析】（I）由題意，可得曲線M是以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓（挖去與x軸的交點），從而可得求曲線M的方程；（Ⅱ）設(shè)與直線BC的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消x，利用韋達(dá)定理，結(jié)合 =0，即可求直線BC的方程．