Question

【題目】已知函數,,,其中.

（1）求函數的單調區間；

（2）若對任意,總存在,使得成立,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）減區間為，增區間為（2）

【解析】

（1）求導后,令導函數大于的解集即為增區間,令導函數小于的解集即為減區間;

（2）問題等價于函數在上的值域包含于函數在上的值域,再求解即可.

（1）函數的定義域為,,

令,解得,令,解得,

函數的減區間為,增區間為;

（2）依題意,函數在上的值域包含于函數在上的值域,

由（1）可知,函數在上單調遞增,故值域為,

由得,

①當時,恒成立,故函數在上單調遞增,此時值域為,故不符合題意;

② 當時,的解集為,的解集為,

故函數在上單調遞減,在上單調遞增,

且,

當時,函數在上單調遞減,在上單調遞增,此時值域為,

則此時需要,即,

當時,不可能成立,故不符合題意;

當時,在上恒成立,則函數在上單調遞減,

此時值域為,則,解得;

綜上所述,實數a的取值范圍為.